A conjectura de Poincaré é relacionada com o problema da classificação das variedades fechadas n-dimensionais. Uma variedade n-dimensional é um espaço topológico tal que cada um de seus pontos possui ou uma vizinhança homeomorfa ao disco aberto do espaço euclidiano Rn (pontos interiores) ou uma vizinhança homeomorfa ao disco semi-aberto de Rn (pontos de bordo). A variedade é dita ser "fechada" se for compacta e não possuir pontos de bordo. Para visualizarmos como devem ser tais objetos, observamos que o próprio disco n-dimensional fechado é uma variedade compacta, mas não fechada por possuir pontos de bordo, enquanto que o n-disco aberto é uma variedade sem pontos de bordo que não é fechada, por não ser compacta. A esfera e o toro bidimensional, que são variedades fechadas 2-dimensionais, ilustram bem o aspecto de tais objetos.
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